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2.- CONPRENDES LA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS.
Criterios de congruencia:
-L, L, L (Lado, Lado, Lado): Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.

-L, A, L (Lado, Ángulo, Lado): Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.

-A, L, A (Ángulo, Lado, Ángulo):  Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se les llama adyacentes al lado. 

-L, L, A (Lado, Lado, Ángulo): Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también son congruentes.

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3.-RESUELBE PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS Y TEOREMA DE PITAGORAS.

Criterios de semajanza:

1.-L,L,L:

Uno de los criterios para determinar si dos triángulos son semejantes es el criterio lado, lado, lado y se refiere a la proporción que mantienen los lados correspondientes de dos triángulos.
Teorema Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales entonces esos triángulos son semejantes. 2.-L,A,L:  LAL significa lado-ángulo-lado. Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente iguales. 3.-A,L,A:

ALA significa ángulo-lado-ángulo.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos, respectivamente, iguales.

4.- TEOREMA DE TALES:

Existen dos teoremas en relación a la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

Primer teorema

Una aplicación del teorema de Tales.

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, al saber, que:

Teorema primero Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado. Tales de Mileto Segundo teorema fig 2.1 Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto. El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado: Teorema segundo Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo. Tales de Mileto Este teorema (véase fig 2.1 y 2.2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

5.-TEOREMA DE PITAGORAS:

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa ("el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo") es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

cuando se va a hallar un cateto se Resta. ejemplo: c^2= a^2 - h^2cuando se va a hallar la hipotenusa se Suma. ejemplo: h^2= a^2 + b^2

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras de Samos

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4.-RECONOCES LAS PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS.

1.-POLIGONOS:

En geometría, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el espacio. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersectan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado a veces su cuerpo. El polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para cualquier número de dimensiones. A su vez, un politopo de tres dimensiones se denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se llama polícoro.

La palabra polígono deriva del griego antiguo πολύγωνος (polúgonos), a su vez formado por πολύ (polú) ‘muchos’ y γωνία (gōnía) ‘ángulo’.^{[1] [2] [3]} Aunque hoy en día los polígonos son usualmente entendidos por el número de sus lados.

2.-ELEMENTOS Y PROPIEDADES

a) elementos:

En un polígono se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos:

• Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
• Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos.
• Diagonal (d): es el segmento que une dos vértices no continuos.
• Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.
• Semiperímetro (SP): es la mitad del perímetro.
• Ángulo interior (AI): es el ángulo formado internamente por dos lados consecutivos.
• Ángulo exterior (AE): es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

En un polígono regular se puede distinguir, además:

• Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.
• Ángulo central (AC): es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.
• Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
• Diagonales totales, , en un polígono de lados.

b) propiedades:

  -Primera propiedad: Lados, Vértice, Ángulos exteriores, Ángulos interiores y ángulos centrales son iguales

  -Segunda propiedad: A partir de un vértice de un polígono, se pueden trazar (n-3) diagonales

  -Tercera propiedad: El número total de diagonales que se puede trazar en un polígono ND= n(n-3)/2

  -Cuarta propiedad: Al trazar diagonales desde un mismo vértice se obtiene triángulos (n-2) 

  -Quinta propiedad: Suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono S=180°(n-2)

  -Sexta propiedad: La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono es 360°

  -Séptima propiedad: Al unir un punto de un lado con los vértices opuestos se obtiene triángulos (n-1) 

  -Octava propiedad: Al unir un punto interior cualquiera con los vértices se obtiene "n" triángulos

  -Novena propiedad: Número de diagonales trazadas desde "V" vértices consecutivos, se obtienes con la            siguiente formula: ND= Nv- (v+1)(v+2)/2

3.-ANGULO CENTRAL:

- Es un ángulo formado por dos rayas coplanares con respecto al círculo.

El vértice es el centro del círculo.

4.-ANGULO INTERIOR:
Es un ángulo dentro de una figura  

5.-LA SUMA DE LOS ÁNGULOS CENTRALES,

INTERIORES Y EXTERIORES:

La suma de los angulos interiores es la suma de todos los angulos que se forman con los vertices dentro del poligono(triangulo, cuadrado, etc).

Angulos exteriores se ve de la siguiente manera:


Por ejemplo un triangulo.... proyecta un lado, osea, en cualquiera de sus lados continúa el trazo,,,, el angulo exterior es el formado por la proyeccion de ese lado con su lado siguiente, osea se podria decir que es el suplemento del angulo interior.

Como dato extra, la suma de los angulos exteriores de cualquier poligono, siempre suman 360.

6.-PERÍMETRO Y ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES E IRREGULARES:

a) perimetro de un poligono:

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de todos sus lados, es decir, su contorno.

Para obtener rápidamente el perímetro de una figura cuyos lados tienen las mismas dimensiones, se multiplica la medida por el número de sus lados. Por ejemplo, si cada una de las paredes de una habitación mide 3.5 metros, se multiplica esta cantidad por 4, lo que da como resultado 14, es decir, la habitación tiene un perímetro de 14 metros.

En caso de que los lados de la figura sean diferentes, bastará con sumar sus lados.

Para calcular mentalmente el perímetro de distintas figuras, basta con hacer un redondeo de las cifras para que la suma o multiplicación de sus lados sea más sencilla.

Por ejemplo, para calcular el perímetro de la base del Cuadrángulo de las Monjas, de la cultura maya en Uxmal, se sabe que el lado septentrional mide 100 m, el meridional 105 m, el oriental 75 m y el occidental 80 m. Así que:

1. Sumo las centenas y obtengo 200.
2. Enseguida sumo las decenas: 70 más 80 y obtengo 150.
3. Después sumo las unidades 5 más 5 lo cual me da 10.
4. Por último sumo las tres cantidades obtenidas para obtener un total de 360 metros.

b) area de un poligono:

 -Área de un polígono regular: Área en función del perímetro y la apotema existen diversas fórmulas para         calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

BLOQUE 5.

5.-EMPLEAS LA CIRCUNFERENCIA.

1.-CIRCUNFERENCIA:

La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad.

a) rectas y secmentos:

1. Radio: es el segmento que une el centro y un punto de la circunferencia perimetral.
2. Diámetro: es el mayor segmento inscrito; pasa por el centro y divide al círculo dos semicírculos; es la mayor de las cuerdas de la circunferencia perimetral.
3. Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.
4. Recta secante: es la recta que corta al círculo en dos partes de diferente área.
5. Recta tangente: es la recta que toca al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.
6. Recta exterior: es aquella recta que no toca ningún punto del círculo.

b) angulos en un circulo:

  MEDIDA DE UN ÁNGULO INSCRITO. La medida de todo ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.
  MEDIDA DE UN ÁNGULO SEMIINSCRITO: La medida del ángulo semiinscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.
  MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR. la medida del ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados y por sus prolongaciones.
  MEDIDA DEL ÁNGULO EXTERIOR: La medida del ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medida de los arcos comprendidos por sus lados.

-Arco: Es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos
  Arco MN: Arco MN que contiene el punto P
  Arco MPN: Arco MN que contiene el punto P

c) perimetro y area:

1.-Perímetro:

El perímetro de la circunferencia se calcula así: 2 x n° (3.1416) (radio de la circunferencia)

O también puede calcularse así: diámetro x n° pi (3.1416)

2.-Área:

El área de la circunferencia se calcula así: pi(3.1416)x radio al cuadrado

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6.-DESCRIBES LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.

1.-FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.

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Conceptos básicos

Identidades trigonométricas fundamentales.

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Función	Abreviatura	Equivalencias (en radianes)
Seno	sin (sen)
Coseno	cos
Tangente	tan
Cotangente	ctg (cot)
Secante	sec
Cosecante	csc (cosec)

2.-SISTEMA SEXAGESIMAL Y CIRCULAR:

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que emplea como base aritmética el número 60 (sesenta). Tuvo su origen en la antigua Babilonia. También fue empleado por los árabes durante el califato omeya. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En dicho sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad.

Sistema sexagesimal El Sistema Sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

1 h 60 min 60 s 1º 60' 60 Operaciones en el sistema sexagesimal SumaRestaMultiplicaciónCociente Suma

1 Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

Ejemplo: 2 Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos.

Ejemplo: 3 Se hace lo mismo para los minutos.

Ejemplo:

Medidas complejas e incomplejas 1 Medida compleja

Es aquella que se expresa con distintas clases de unidades:

Ejemplo: 3h 5min 7s 25º 32' 17 2 Medida incompleja o simple

Se expresa únicamente con una clase de unidades.

Ejemplo: 3.2h 5.12º 3 Paso de medidas complejas a incomplejas

Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de las unidades que tenemos en la que queremos obtener y posteriormente sumarlas.

Ejemplo: Pasar a segundos 3h 36min 42s.

4 Paso de medidas incomplejas a complejas

Se pueden dar dos casos:

1 Si queremos pasar a unidades mayores hay que dividir.

Ejemplo: 7520

2 Si queremos pasar a unidades menores hay que multiplicar.

Ejemplo:

== Suma y resta del sistema sexagesimal == NOEL .I.! El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es su sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

3.-SISTEMA CIRCULAR: 

En este sistema la unidad de medida es el radián (rad).

Un radián es la medida del ángulo con vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados determinan sobre ella un arco de longitud igual al radio r. Se simboliza 1 rad.
                 

Un ángulo completo mide 2 rad (o simplemente 2).
Un ángulo llano mide  rad (o simplemente ).
Un ángulo recto mide  rad (o simplemente   ).

4.-RAZONES TRIGONOMETRICAS DIRECTAS Y RECIPROCAS DE ÁNGULOS AGUDOS:

a)Razones trigonométricas:

Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo , de la siguiente manera:

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa: El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente (o contiguo) y la hipotenusa: La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente: 5.-RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS:  Resolver un triángulo consiste en calcular seis elementos: los tres lados y los tres elementos y los tres ángulos.  Para ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un lado. Si el triángulo es rectángulo (un ángulo es 90º) basta conocer dos de sus elementos, uno de los cuales debe ser un lado.         BLOQUE 7. 7.- APLICAS LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. 1.-FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL PLANO CARTESIANO:                             En este bloque trabajarás con las funciones trigonométricas que no son más que la extensión de la definición de las razones trigonométricas.  Los valores de estas funciones son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria. Pero, qué es una circunferencia unitaria, lo resolveremos para que vayas muy preparado a tu clase. La circunferencia unitaria es una circunferencia de radio uno, es el lugar geométrico resultante de los puntos en el plano que se mantienen a una unidad de distancia respecto de un punto llamado centro que es el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas. Todos los puntos que se encuentran en ella tienen coordenadas (x, y) y la distancia entre cualquiera de ellos y el origen es igual a la unid         2.-CIRCULO UNITARIO: as funciones circulares que estudiaremos se basan en una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de puntos del círculo unitario.  El círculo unitario es un círculo de radio 1 con centro en el origen del sistema de coordenadas, esto es, el punto (0,0) y su ecuación es  x2 + y2 = 1. Cada número real de la recta numérica se asocia con las coordenadas de un punto en el círculo unitario llamado punto circular.  Para eso, primero asumimos que la recta numérica tiene la misma escala que la del círculo unitario. Luego, localizamos el 0 en la recta numérica de manera que coincida con el punto (1, 0) en la unidad del círculo.  Entonces,  el eje real positivo se enrolla en sentido contrario a las manecillas del reloj y el eje real negativo se enrolla en el sentido de las manecillas del reloj.  De manera, que cada número real de la recta real se asocia con un sólo punto circular del círculo unitario.  En la página 340 del texto puedes observar la forma en que se enrolla la recta al círculo unitario. Como el radio del círculo unitario es 1, entonces la circunferencia del círculo es: Así que un cuarto, una mitad y tres cuartos de la circunferencia son respectivamente: De manera que, los puntos circulares correspondientes en los ejes coordenados son:                                                                                                                            Nota:  Observa que las coordenadas de los puntos circulares P(0) y P(2p) son iguales.   3.-GRAFICA DE LAS FUNCIONES SENO, COSENO, TANGENTE:                                    En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas:seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio. Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites. *seno* *coseno* *tangente* *cosecante* *secante* *cotangente*

BLOQUE 8.

8.-APLICA LAS LEYES DE LOS SENOS Y COSENOS:

LEY DE LOS SENOS

La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. La ley de senos nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a el en todo triángulo es constante.Si observamos la figura 1, la ley de senos se escribirá como sigue: Figura 1 Resolución de triángulos por la ley de los Senos Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos. Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de senos y/o la ley de cosenos. Todo dependerá de los valores conocidos. Ejemplo: Supongamos que en el triángulo de la figura 1 . Encontrar la longitud del del tercer lado y la medida de los otros dos ángulos. Solución: Calculemos el ángulo  como los tres ángulos internos deben sumar 180º , podemos obtener el ángulo , Para calcular el lado c podemos utilizar nuevamente la ley de senos: LEY DE LOS COSENOS: La ley de cosenos se puede considerar como una exención del teorema de pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones: Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos. Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de los valores conocidos. Ejemplo: Supongamos que en el triángulo de la figura 1 . Encontrar la longitud del tercer lado. Solución: Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos: BLOQUE 9. 9.-APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL: Este tipo de medidas nos permiten identificar y ubicar el punto (valor) alrededor del cual se tienden ha reunir los datos (“Punto central”). Estas medidas aplicadas a las características de las unidades de una muestra se les denomina estimadores o estadígrafos; mientras que aplicadas a poblaciones se les denomina parámetros o valores estadísticos de la población. Los principales métodos utilizados para ubicar el punto central son la media, la mediana y la moda.  1. MEDIA Es la medida de posición central más utilizada, la más conocida y la más sencilla de calcular, debido principalmente a que sus ecuaciones se prestan para el manejo algebraico, lo cual la hace de gran utilidad. Su principal desventaja radica en su sensibilidad al cambio de uno de sus valores o a los valores extremos demasiado grandes o pequeños. La media se define como la suma de todos los valores observados, dividido por el número total de observaciones.   Donde (m) representa la media, (N) representa el tamaño de la población y (Xi) representa cada uno de los valores de la población. Ya que en la mayoría de los casos se trabajan con muestras de la población todas las ecuaciones que se presenten a continuación serán representativas para las muestras. La media aritmética para una muestra esta determinada como  Cuando los valores representan una población la ecuación se define como: Ecuación 5- 2   aplicable si los datos se encuentran desa (22, 33, 35, 3o contrario debemos calcr su interpretación se han generado tres rangos de edad los cuales se han establecido de 21 a 30 años, de 31 a 40 años y de 41 a 50 años. Si nos fijamos en estos rangos notaremos que los puntos medios son 25, 35 y 45 respectivamente. Los resultados de la organización de estos datos se representan en la tabla [5-1].   Ecuación 5-3 Donde (X) representa la Media para la muestra, (n) el tamaño de la muestra y (Xi) representa cada uno de los valores observados. Esta fórmula únicamente es aplicable si los datos se encuentran desagrupados; en caso contrario debemos calcular la media mediante la multiplicación de los diferentes valores por la frecuencia con que se encuentren dentro de la información; es decir, Ecuación 5-4 Donde (Yi) representa el punto medio de cada observación, (ni) es la frecuencia o número de observaciones en cada clase y (n) es el tamaño de la muestra siendo igual a la suma de las frecuencias de cada clase. Para entender mejor este concepto vamos a suponer que hemos tomado la edad de 5 personas al azar cuyos resultados fueron (22, 33, 35, 38 y 41). Para facilitar su interpretación se han generado tres rangos de edad los cuales se han establecido de 21 a 30 años, de 31 a 40 años y de 41 a 50 años. Si nos fijamos en estos rangos notaremos que los puntos medios son 25, 35 y 45 respectivamente. Los resultados de la organización de estos datos se representan en la tabla [5-1]. Figura 5-1 Si aplicamos la fórmula para valores agrupados obtendríamos que la media es igual a Es importante resaltar que existe una gran variedad de medias como la Media geométrica, la Media ponderada, la Media cuadrática, etc. Por el momento sólo hacemos énfasis en la media aritmética ya que es la más utilizada, aunque se recomienda a los lectores profundizar en estos temas. Lo que nos indicaría que el promedio de edad para los datos des agrupados es de 34 años aproximadamente. Esta diferencia se debe a que al agrupar los datos se pierde parcialmente la exactitud de los cálculos, principalmente al aumentar el número de datos. Para evitar estos inconvenientes, SPSS nos permite fórmula 2. MEDIANA Con esta medida podemos identificar el valor que se encuentra en el centro de los datos, es decir, nos permite conocer el valor que se encuentra exactamente en la mitad del conjunto de datos después que las observaciones se han ubicado en serie ordenada. Esta medida nos indica que la mitad de los datos se encuentran por debajo de este valor y la otra mitad por encima del mismo. Para determinar la posición de la mediana se utiliza la fórmula Ecuación 5-5 Para comprender este concepto vamos a suponer que tenemos la serie ordenada de valores (2, 5, 8, 10 y 13), la posición de la mediana sería: Lo que nos indica que el valor de la mediana corresponde a la tercera posición de la serie, que equivale al número (8). Si por el contrario contamos con un conjunto de datos que contiene un número par de observaciones, es necesario promediar los dos valores medios de la serie. Si en el ejemplo anterior le anexamos el valor 15, tendríamos la serie ordenada (2, 5, 8, 10, 13 y 15) y la posición de la mediana sería, Es decir, la posición tres y medio. Dado que es imposible destacar la posición tres y medio, es necesario promediar los dos valores de la posiciones tercera y cuarta para producir una mediana equivalente, que para el caso corresponden a  (8 + 10)/2 =9. Lo que nos indicaría que la mitad de los valores se encuentra por debajo del valor 9 y la otra mitad se encuentra por encima de este valor. En conclusión la mediana nos indica el valor que separa los datos en dos fracciones iguales con el cincuenta por ciento de los datos cada una. Para las muestras que cuentan con un número impar de observaciones o datos, la mediana dará como resultado una de las posiciones de la serie ordenada; mientras que para las muestras con un número par de observaciones se debe promediar los valores de las dos posiciones centrales. 3. MODA La medida modal nos indica el valor que m;"> concentrar. La Media nos indica el promedio de los datos; es decir, nos informa el valor que obtendría cada uno de los individuos si se distribuyeran los valores en partes iguales. La Mediana por el contrario nos informa el valor que separa los datos en dos partes iguales, cada una de las cuales cuenta con el cincuenta por ciento de los datos. Por último la Moda nos indica el valor que más se repite dentro de los datos.    Indicadores de desempeño: -       Identifica el significado de las diferentes medidas de tendencia central (media, mediana y moda) en casos prácticos.   -       Obtiene las medidas de tendencia central de datos agrupados y no agrupados dentro y fuera de situaciones contextualizadas. -       Utiliza las medidas de tendencia central para analizar, interpretar, describir y comunicar información proveniente de diversas fuentes. -       Interpreta gráficas, tablas y diagramas mediante los elementos de la estadística elemental.   Situación didáctica 1:  Fermín es un estudiante de preparatoria que hace su servicio social en un pequeño hospital de su comunidad. El médico a cargo, le dice que a partir del registro de todos los pacientes que fueron atendidos el mes pasado, elabore un reporte donde se observe gráficamente cuáles fueron las edades de las personas que acudieron al hospital, y cuál fue la edad promedio. Datos.             6, 14, 13, 13, 50, 45, 20, 22, 4, 7, 4, 11, 16, 22, 30, 78, 69, 68, 50, 33, 24, 66, 40, 23, 12,           65, 52, 58             ¿Cómo quedaría la gráfica que le pidió el médico a Fermín?   Secuencia didáctica:   Actividades:  Resuelve los siguientes problemas 1.          Los siguientes datos representan el tiempo en que fueron llenadas las cajas de sodas.  Calcular el promedio de las cajas en minutos.             7,9,8,9,10,9.8,7 2.          Obtengan la media aritmética de los siguientes datos no agrupados.             128,132,136,136,139,143,147.   1.          La siguiente gráfica corresponde al consumo en kilo watts/hora en los siete primeros meses del año.   Analiza la gráfica y responde las siguientes preguntas. 2.      a)    En qué mes se consumió más kilo watts______________________ b)    En qué mes se  consumieron 400 kilo watts _____________ c)    Que sucedió en el mes de julio______________________ 5.-        En los siguientes enunciados escribe el  tipo de variable (discreta o continua) según sea el caso. a).-      El número de alumnos que tienen sangre tipo A+ en el grupo       231.____________________ b).-      El número de exámenes de regularización que han presentado los alumnos de  Matemáticas II.____________________ c).-      La altura de los árboles de la calle Reforma.______________ d).-      La temperatura registrada durante el año en Mexicali.___________ e).-      La hemoglobina medida a los enfermos internados en un hospital.____________ 6.-        En un grupo de 40 alumnos del plantel, se preguntó el número de integrantes de cada  familia obteniéndose los siguientes datos.             4,5,6,3,4,5,6,3,8,6 5,4,3,3,6,8,7,3,4,5 3,3,6,6,4,5,8,6,5,6 8,7,6,5,4,3,4,3,3,6             Debido a la cantidad de datos es recomendable agruparlos. A partir de los datos anteriores completa la siguiente tabla de frecuencias.   Número de integrantes Frecuencia 3 10             Realice un Histograma, Polígono de frecuencias y una Gráfica Circular con los datos anteriores.   Material a utilizar:   colores, hojas cuadriculadas, calculadora, reglas.   Mecanismos para evaluar:              - Ejercicios             -  Problemario   Situación didáctica 2: ¿Quiénes son más altos?             El equipo de Basquetbol representativo de Zona Valle se enfrentará al de Zona Costa. Siempre se ha corrido el rumor que el equipo de Zona Costa tiene jugadores de mayor estatura, por lo que tienen más ventaja.             La Dirección General del Cobach tiene el registro de estatura de los jugadores que participarán en este encuentro deportivo y los publica para ambos equipos.             Equipo Zona Costa:  1.73,  1.75,  1.83,  1.75,  1.89,  1.95,  1.85,  1.76,  1.75,  1.82,  1.90 en metros.   Equipo Zona Valle:   1.85,  1.69,  1.92,  1.89,  1.78,  1.78,  1.89,  1.88,  1.69,  1.95,  1.89 en metros.             Con base en esta información, determine, ¿qué equipo tiene los jugadores más altos?             ¿Cómo puedes comparar las estaturas de ambos equipos para que nos ayude a saber quién tiene mayor ventaja por su estatura?     Actividad 1.   Reúnase con su equipo, analicen la información y resuelvan lo siguiente: 1.            Para cada equipo, realiza la suma de todos los datos y divídelo entre el total de ellos. Al            resultado obtenido se le llamará media aritmética.             ¿Cuál es la diferencia entre la media de cada equipo?             ¿Cuál de los equipos se puede decir que supera al otro en la estatura de sus      jugadores?             ¿Conoces alguna otra manera de resumir los datos a fin de comparar estos dos           conjuntos?    1.          1.                2.             Ordena de menor a mayor cada una de las estaturas, para cada equipo. ¿Qué estatura es la que se encuentra a la mitad de la lista?  Al valor así obtenido se le llama mediana.          ¿Es la mediana muy diferente a la media aritmética?         ¿Consideras que ambas pueden ayudarte a realizar la comparación de ambos equipos?          ¿Cuál prefieres?   3.          De cada lista de jugadores, ¿cuál estatura es la que más se repite?             ¿Encuentras alguna similitud de este valor con la media y la mediana?  Al valor que tiene más frecuencia o se repite más se le llamará moda.             ¿En qué situaciones que conozcas puedes utilizar el concepto de moda? Escribe tres ejemplos. _____________________________________________________ _____________________________________________________ ____________________________________________________________   4.          Un día antes del encuentro, decidió el comité deportivo aumentar a la lista de jugadores           tres personas más por equipo. Zona Costa llevará a José, Arturo y Pedro, de 1.75,       1.84 y 1.68 m de estatura, respectivamente. Mientras que Zona Valle llevará a Luis,  Jorge y Santiago de  1.78, 1.69 y 1.78 m.             Determinen para cada equipo la media aritmética, la mediana y la moda con estos nuevos datos.             ¿Qué equipo tiene más ventaja por su estatura?   5.          Una vez terminada la actividad entrégala a tu profesor para su revisión.    Material a utilizar:             Hojas impresas de esta actividad, colores, hojas cuadriculadas, calculadora, reglas.   Mecanismos para evaluar: -       Ejercicios -       Problemario   Situación didáctica 3: ¿Quién ganará la excelencia académica?             En el concurso de ciencias convocado por la Universidad Tecnológica de Tijuana, se entregará un premio a la excelencia académica a la institución que tenga el mayor promedio de calificación de sus alumnos participantes en el concurso.             Participaron varios planteles del Colegio de Bachilleres, pero uno de ellos obtuvo las siguientes calificaciones en sus alumnos:             Matemáticas: 7.3,  9.7,  9.2,  8.9,  9.3             Física:             5.8,  9.5,  9.2,  8.8,  8.5             Biología:          9.1,  9.5,  7.2,  9.3,  8.9             Química:         los resultados están aún pendientes             Uno de los equipos más fuertes a vencer es CETYS Tijuana, el cual obtuvo los siguientes resultados:             Matemáticas:  9.2,  8.7,  9.0,  6.6,  8.1             Física:             9.1,  7.5,  8.2,  9.3,  8.3,             Biología:          8.5,  9.2,  8.0,  9.3,  6.2             Química:         aún pendientes     1.         Calcula las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) para ambas           escuelas, de los 15 datos hasta ahora obtenidos.             ¿Cuál escuela va ganando?   2.         Realiza una gráfica (histograma) que muestre el promedio individual de cada asignatura,         para cada una de las dos escuelas.             ¿Puedes observar cuál de las dos escuelas domina más las Matemáticas, o la Física?       3.          Calcula el rango de las calificaciones de ambas escuelas. ¿Será suficiente este dato    para determinar la variabilidad de las calificaciones?     4.      De las calificaciones de ambos planteles determina la varianza y la desviación típica.             ¿Cuál de los dos planteles presenta mayor variabilidad con relación a la medida central?             ¿En cuál de las dos escuelas la preparación de sus alumnos es más homogénea?,       explica tu respuesta.   5.          Finalmente se dan las calificaciones de Química que estaban pendientes. Plantel          Cobach obtuvo promedio por los 5 alumnos la calificación de 8.6  y CETYS Tijuana  8.7             ¿Qué escuela lleva la ventaja para el premio?   6.          En la ceremonia de premiación la escuela que obtuvo el tercer lugar tuvo como            promedio de calificación en todas sus asignaturas 8.39             ¿Qué escuela obtuvo el premio de excelencia

BLOQUE 10.

10.-EMPLEAS LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE LA PROBABILIDAD:

Concepto clásico de Probabilidad

Una de las características de un experimento aleatorio es que no se sabe qué resultado particular se obtendrá al realizarlo. Es decir, si A es un suceso asociado con un experimento aleatorio, no podemos indicar con certeza si A ocurrirá o no en una prueba en particular. Por lo tanto, puede ser importante tratar de asociar un número al suceso A que mida la probabilidad de que el suceso ocurra. Este número es el que llamaremos P(A).

Probabilidad Clásica o a Priori

Si un suceso puede ocurrir de N maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables,  y m de ellas poseen una característica A

 

                           

             

                    Ejemplo 1: P(de que salgan dos caras al tirar 2 monedas)

 

                            

P(de que salga una cara al tirar 2 monedas )

                       

                   Ejemplo 2: P(de que salga un varón al tomar 2 bebés y observar su sexo)

                                               

   

Probabilidad empírica o frecuencial

Una teoría de mayor aplicación y muy sostenida es la basada en la frecuencia relativa. Puede atribuirse a este punto de vista el adelanto registrado en la aplicación de la probabilidad en la Física, la Astronomía, la Biología, las Ciencias Sociales y los negocios.

Esta teoría está estrechamente relacionada con el punto de vista expresado por Aristóteles: “lo probable es aquello que ocurre diariamente”.

Notamos a través de gran cantidad de observaciones acumuladas con los diversos juegos de azar una forma general de regularidad que permitió establecer una teoría.

Supongamos que efectuamos una serie de n repeticiones del experimento E, intentando mantener constantes las condiciones pertinentes. Sea f el número de repeticiones en las que se presenta el suceso A, de forma que en las restantes n – f no se presentará. Obtendremos así una serie de frecuencias relativas para n₁, n₂ ….

                       

Estas frecuencias relativas diferirán poco entre sí cuando las n_i sean grandes y tenderán a acumularse en la proximidad de un valor fijo.

Debemos señalar que la estabilidad, a la larga, de las frecuencias relativas se aplica a una amplia clase de experimentos aleatorios, de los que el juego de azar constituye un caso en particular, casi insignificante.

Para establecer una descripción matemática sencilla de la conducta de las frecuencias relativas para grandes valores de n_, vamos a postular la existencia de un nro. p que es el nro. al cuál tiende f_r, es decir, la frecuencia relativa del suceso en estudio.

Este número se llamará probabilidad del suceso A en relación con el experimento aleatorio E.

La frecuencia relativa f_r se considerará entonces como una medida experimental de la probabilidad y diremos:

“De acuerdo con el concepto empírico de la estabilidad de las razones frecuenciales cabe esperar que, para grandes valores de n, la razón frecuencial  observada sea aproximadamente igual a p que se llamará probabilidad del suceso en estudio”.

Estaremos entonces “estimando” el valor de una probabilidad desconocida por medio de un estudio de la conducta de las frecuencias relativas del hecho o suceso correspondiente.

La aplicación de esta definición está relacionada con un experimento aleatorio que puede ser repetido varias veces en condiciones uniformes. Naturalmente, la repetición real será en ocasiones difícil o incluso imposible de realizar, por ejemplo, debido a los costos prohibitivos de experimentación, pero bastará con que sea concebible una repetición en condiciones uniformes.

Pensaste cuando tirás muchas, muchas veces una moneda ¿cúal es la probabilidad de que salga cara?

¿Aplicaste esta definición? ¿Por qué?. Discutilo en grupos y analizá la explicación con tu profesora.

Probabilidad subjetiva

Se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un suceso basado en la experiencia previa, la opinión personal o la intuición del individuo. En este caso después de estudiar la información disponible, se asigna un valor de probabilidad a los sucesos basado en el grado de creencia de que el suceso pueda ocurrir.

¿ Cuál es la probabilidad de que haya vida en Marte?

¡Analiza esta probabilidad!

Estos ejemplos ¿ a qué  definición  de probabilidad corresponden?

Ejemplo 1

E: Tirar un dado

A = que salga el n° 3

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

P(A) = 1/6

Ejemplo 2

E: Retirar una carta de un mazo

A= que salga oro

P(A) = 10/40